Question

如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AF、BG分别是△ABC中∠BAC，∠ABC的角平分线，∠C=50°，给出如下四个结论：
①∠3=50°，②∠4=115°，③∠1=∠2，④，
其中正确的结论是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

D
分析：求出∠ADC=∠BEC=90°，根据四边形内角和定理求出∠DOE，即可求出∠3，求出∠CAB+∠ABC，求出（∠CAB+ABC），根据三角形内角和定理即可求出∠4；求出∠CAD=∠CBE=40°，求出∠1=∠CAB-40°，∠2=∠ABC-40°，即可判断③；根据三角形面积公式即可判断④．
解答：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∵∠C=50°，
∴∠DOE=360°-90°-90°-50°=130°，
∴∠3=180°-130°=50°，∴①正确；
∵∠C=50°，
∴∠ABC+∠BAC=180°-50°=130°，
∵AF、BG分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠FAB=∠CAB，∠ABG=∠ABC，
∴∠FAB+∠ABG=（∠CAB+∠ABC）=×130°=65°，
∴∠4=180°-（∠ABG+∠BAF）=180°-65°=115°，∴②正确；
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEO=∠BDO=90°，
∵∠3=∠BOD=50°，
∴∠CBE=∠CAD=90°-50°=40°，
∵BG、AF分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠CAF=∠CAB，∠CBG=∠CBA，
∴∠2=∠CBA-∠CBE=∠CBA-40°，
同理∠1=∠BAC-40°，
∵根据已知不能推出∠CAB=∠ABC，
∴不能推出∠1=∠2，∴③错误；
在△ABC中，由三角形面积公式得：BC×AD=AC×BE，
∴=，∴④正确；
故选D．
点评：本题考查三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度．