Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（2，0）和点C，抛物线与x轴交于点A和点E（点A在点E的左侧），连接AC，将△ABC沿AC折叠，得到点B的对应点为点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求点D坐标，并判定点D是否在该二次函数的图象上；

（3）①在线段AC上找一点F，使得△OBF的周长最小，直接写出此时点F的坐标．②在①的基础上，过点F的一条直线与抛物线对称轴右侧部分交于点N，交线段AD于点M，连接NA、ND，使△AMF与△AMN的面积比为4：1，请直接写出△AND的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（5，4），点D是否在该二次函数的图象上；（3）①F；②△AND的面积为．

【解析】

（1）先根据一次函数的解析式求出点C坐标，再利用待定系数法即可得；

（2）先根据一次函数的解析式求出点B坐标，再根据点坐标可得，再根据旋转的性质、菱形的判定与性质可得CD∥AB，CD＝AB＝5，从而可得点D坐标，然后根据二次函数的解析式即可得出答案；

（3）①先由题（2）的结论得出点B、D关于AC对称，再根据轴对称的性质、两点之间线段最短得出，的周长最小时，点F的位置，然后利用待定系数法求出AC、OD的解析式，联立求解即可得点F坐标；

②先根据“△AMF与△AMN的面积比为4：1”求出FM＝4MN，再利用待定系数法求出AD的解析式，从而可得的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得NH的长，最后利用点A、D坐标和三角形的面积公式即可得．

（1）∵一次函数的图象与y轴交于点C

∴

∵点在二次函数的图象上

∴，解得

故二次函数的解析式为；

（2）如图1，对于一次函数

令y＝0，则

∴

∴

∵

∴

∴BC＝AB

由折叠的性质可知，BC＝CD，AB＝AD

∴AB＝AD＝CD＝BC

∴四边形ABCD是菱形

∴CD∥AB，CD＝AB＝5

∴点D横坐标为5，纵坐标与点C纵坐标相等

由（1）知，二次函数的解析式为

当x＝5时，

∴点D在二次函数的图象上

故点D坐标为，且在二次函数的图象上；

（3）①如图2，连接FD、BD

由（2）知，四边形ABCD是菱形

∴点B关于AC的对称点为D

的周长为

由两点之间线段最短得，当点在一条线上时，的周长最小

∴直线OD的解析式为

∴直线AC的解析式为

联立OD、AC的函数解析式得

解得

∴；

②如图3，由①知，

∵△AMF与△AMN的面积比为

∴FM＝4MN

∵

∴直线AD的解析式为

过点F作轴，交DA的延长线于点

将代入得，

∴

过点N作NH∥y轴，交AD于H

∴

∴

∴

∴

设点A横坐标为，点D横坐标为

∴

故△AND的面积为．