Question

如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，直角边ED交直角边CA的延长线于点F，则当AD=

 

时，△ADF与△BDE的面积之和最小，最小值为

 

．

Answer 1

分析：设AD=x，则DF=

2

x，∴BD=1-x，DE=

2

2

（1-x），∴设y=S_△ADF+S_△DEB=

1

2

AD•DF•sin45°+

1

2

BD•DE•sin45°，由此可以建立关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出当AD=

1

3

AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为

1

6

．

解答：解：设AD=x，则DF=

2

x，
∴BD=1-x，DE=

2

2

（1-x）．
∴设y=S_△ADF+S_△DEB
=

1

2

AD•DF•sin45°+

1

2

BD•DE•sin45°
=

1

2

x•

2

x•

2

2

+

1

2

（1-x）•

2

2

（1-x）•

2

2

=

3

4

（x-

1

3

）²+

1

6

当x=

1

3

时，y取最小值

1

6

．
∴当AD=

1

3

AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为

1

6

．

点评：求几何图形面积最值的问题，一般可以转化为求二次函数的最值问题．