Question

△ABC中，AB=AC=4，BC边上有n个不同点Q₁，…，Q_n，记P_i=AQ_i²+Q_iB•Q_iC，（i=1、2…n）则P₁+P₂+…+P_n的值是

1. A.
   16n
2. B.
   12n
3. C.
   8n
4. D.
   4n

Answer 1

A
分析：首先过△ABC顶点A作BC边上的高AD，由已知得BD=CD，再由两个直角三角形运用勾股定理推出即P₁=AQ₁²+Q₁B•Q₁C=AB²=16，同理同理：P₂=16，P₃=16，…，P_n=16，从而求解．
解答：解：过△ABC顶点A作BC边上的高AD，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△ADQ₁中，由勾股定理得：
AQ₁²=AD²+Q₁D²，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD²=AB²-BD²，
所以AQ₁²+Q₁B•Q₁C
=AD²+Q₁D²+Q₁B•Q₁C
=（AB²-BD²）+Q₁D²+Q₁B•Q₁C
=AB²-BD²+Q₁D²+（BD-Q₁D）（CD+Q₁D）
=AB²-BD²+Q₁D²+（BD-Q₁D）（BD+Q₁D）
=AB²-BD²+Q₁D²+BD²-Q₁D²
=AB²
=4²
=16，
即P₁=16，
同理：P₂=16，P₃=16，…，P_n=16，
所以P₁+P₂+P₃+…+P_n=16+16+16+…+16=16n，
故选：A．
点评：此题考查的知识点是勾股定理，关键是由已知等腰三角形作底边的高，得两直角三角形，运用勾股定理及等腰三角形的性质推出AQ₁²+Q₁B•Q₁C=AB²．