Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O₁，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，2

3

），B（-2，0）．
（1）求C，D两点的坐标．
（2）求证：EF为⊙O₁的切线．
（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接DE，由等腰梯形的对称性可知，△CDE≌△BAO，根据线段的等量关系求C，D两点的坐标；
（2）连接O₁E，由半径O₁E=O₁C，得∠O₁EC=∠O₁CE，由等腰梯形的性质，得∠ABC=∠DCB，故∠O₁EC=∠ABC，可证O₁E∥AB，由EF⊥AB，证明O₁E⊥EF即可；
（3）存在．过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，由PC=PM，可知四边形OMPN为正方形，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解．

解答：（1）解：连接DE，∵CD是⊙O₁的直径，
∴DE⊥BC，
∴四边形ADEO为矩形．
∴OE=AD=2，DE=AO=2

3

．
在等腰梯形ABCD中，DC=AB．
∴CE=BO=2，CO=4．
∴C（4，0），D（2，2

3

）；

（2）证明：连接O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，
∠O₁EC=∠O₁CE，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB．
∴O₁E∥AB，
又∵EF⊥AB，
∴O₁E⊥EF．
∵E在⊙O₁上，
∴EF为⊙O₁的切线

（3）解法一：存在满足条件的点P．
如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
tan∠ABO=

AO

BO

=

2 3

2

=

3

．
∴∠ABO=60°，
∴∠PCN=∠ABO=60°．
在Rt△PCN中，
cos∠PCN=

CN

PC

=

1

2

，
即

4-x

x

=

1

2

，
∴x=

8

3

．
∴PN=CN•tan∠PCN=（4-

8

3

）•

3

=

4 3

3

．
∴满足条件的P点的坐标为（

8

3

，

4 3

3

）．

解法二：存在满足条件的点P，
如右图，在Rt△AOB中，AB=

AO2+BO2

=

(2 3 )2+22

=4．
过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，
∵∠PCN=∠ABO，∠PNC=∠AOB=90°．
∴△PNC∽△AOB，
∴

PC

AB

=

CN

BO

，即

x

4

=

4-x

2

．
解得x=

8

3

．
又由△PNC∽△AOB，得

PN

AO

=

PC

AB

，即

PN

2 3

=

8 3

4

，
∴PN=

4 3

3

．
∴满足条件的P点的坐标为（

8

3

，

4 3

3

）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰梯形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质．关键是根据等腰梯形的性质，作辅助线，利用相似三角形的性质求解．