Question

已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，

求证：△DEF为等腰直角三角形．

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

证明：①连结

∵   ∠BAC＝90°   为BC的中点

∴AD⊥BC   BD＝AD

∴∠B＝∠DAC＝45°

又BE＝AF

∴△BDE≌△ADF  （S.A.S）

∴ED＝FD   ∠BDE＝∠ADF

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90°

∴△DEF为等腰直角三角形

②若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示．

连结AD  

∵AB＝AC  ∠BAC＝90°  D为BC的中点

∴AD＝BD   AD⊥BC

∴∠DAC＝∠ABD＝45°

∴∠DAF＝∠DBE＝135°

又AF＝BE

∴△DAF≌△DBE   （S.A.S）

∴FD＝ED   ∠FDA＝∠EDB

∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°

∴△DEF仍为等腰直角三角形。