Question

如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限。其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm

（1）       若OB=6cm．

①     求点C的坐标；

②     若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

（2）       点C与点O的距离的最大值=       cm.

 

Answer 1

解：(1)① 过点C作y轴的垂线，垂足为D，

        在Rt△AOB中，AB=12， OB=6，则BC=6，

        ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，

        又∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，

        ∴BD=3，CD=3 ．

        ② 设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向动的距离也为x,

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6 ．

∴A'O=6－x，B'O=6＋x ，A'B'=AB=12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

(6－x)²＋(6＋x)²=12²

解得，x=6(－1)

∴滑动的距离为6(－1)．

(2)设点C的坐标为(x,y)，过C作CE ⊥ x轴，CD ⊥ y轴， 垂足分别为E，D

则OE=－x，OD=y，

∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90°

∴∠ACE=∠DCB，

又∵∠AEC=∠BDC=90°，

∴△ACE ∽ △BCD

∴，即，

∴y=－x，

OC²=x²＋y²= x²＋(－x)²=4x²,

∴当︱x︱取最大值时即C到y轴距离最大时OC²有最

大值，即OC取最大值，如图，即当C'B'转到与y轴垂时

．此时OC=12．