题目内容
如图，正方形ABCD中，N是DC的中点M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM+tan∠DMN（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
分析：延长MN交BC延长线于点E，根据已知条件求出M在AD上的位置，然后代入三角函数求解．
解答：
解：延长MN交BC延长线于点E．
设正方形的边长为2a，MD=x，
∵∠MND=∠CNE，ND=NC，∠D=∠NCE，
∴△MND≌△ENC，
∴MN=NE=
，ME=2MN=2
，
∵∠NMB=∠MBC，BE=2a+x，
∴ME=BE即：2
=2a+x，
化简得：x=
a．
在Rt△ABM中，AM=
a，故tan∠ABM=
=
=
；
在Rt△MDN中，tan∠DMN=
=
=
；
故：tan∠ABM+tan∠DMN=
．
故选B．
解：延长MN交BC延长线于点E．设正方形的边长为2a，MD=x，
∵∠MND=∠CNE，ND=NC，∠D=∠NCE，
∴△MND≌△ENC，
∴MN=NE=
| a2+x2 |
| a2+x2 |
∵∠NMB=∠MBC，BE=2a+x，
∴ME=BE即：2
| a2+x2 |
化简得：x=
| 4 |
| 3 |
在Rt△ABM中，AM=
| 2 |
| 3 |
| AM |
| AB |
| ||
| 2a |
| 1 |
| 3 |
在Rt△MDN中，tan∠DMN=
| ND |
| MD |
| a | ||
|
| 3 |
| 4 |
故：tan∠ABM+tan∠DMN=
| 13 |
| 12 |
故选B．
点评：此题综合应用了解直角三角形、直角三角形性质等知识，也要求学生有比较高的逻辑推理能力和运算能力．
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