Question

如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F，连接DE，BE，DF．

（1）求证：BE=CD；

（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，

∴AB=AC，

∴∠BAE=∠CAD，

在△ACD和△ABE中，

，

∴△ACD≌△ABE（SAS），

∴BE=CD；

（2）∵AD⊥BC，

∴BD=CD，

∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，

∴∠BAE=∠BAD，

在△ABD和△ABE中，

，

∴△ABD≌△ABE（SAS），

∴∠EBF=∠DBF，

∵EF∥BC，

∴∠DBF=∠EFB，

∴∠EBF=∠EFB，

∴EB=EF，

∴BD=BE=EF=FD，

∴四边形BDFE为菱形