Question

已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC、BC、过O点作AB的垂线，交BC于E，交半圆于F，交AC的延长线于D．
（1）求证：

S△OEC

S△OCD

=

EC2

CD2

；
（2）如果OA=2，点C在弧AF上运动（不与点A，F重合）．设OE的长为x，△AOD的面积为y，求y和x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并画出函数图象．

Answer 1

分析：（1）由AB是直径得出∠ACB是直角，推出∠A和∠B的和为90°，再由OD与AB垂直得出∠A与∠D的和为90°，从而得出角的等量关系，即可得到△OEC∽△OCD，从而推出结论．
（2）由△OEC∽△OCD得出边的比例关系，再由三角形的面积公式即可得出y和x之间的函数关系式，再求出自变量x的取值范围即可．

解答：（1）证明：∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵OD⊥AB
∴∠A+∠D=90°
∴∠D=∠B=∠OCB
∵∠EOC=∠COD
∴△OEC∽△OCD
∴

SOEC

SOCD

=(

EC

CD

)2
∴

SOEC

SOCD

=

EC2

CD2

（6分）

（2）解：∵△OEC∽△OCD
∴

OC

OE

=

OD

OC

∴OC²=OE•OD
∵OC=2，OE=x
∴2²=x•OD
∴OD=

4

x

（8分）
又∵y=

1

2

×AO•OD，∴y=

1

2

×2×

4

x

，
∴y=

4

x

（9分）
∴自变量x的取值范围是0＜x＜2（10分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及二元一次函数的应用，综合性强，难度适中．