题目内容
有张圆桌放在房间角落，与两面互相垂直的墙壁都接触，飞来一只蝉，停在圆桌边上的P处，没提防圆桌中心的Q处有一只螳螂，如果P点离两墙壁的距离分别是8cm和9cm，则螳螂捕蝉至少需走 cm的路程．（精确到整数）
【答案】分析：根据题意画出图形，如图所示，连接QD，延长DQ与AP交于C，连接PQ，求出PC的长，由CD=PB，设QD=r，表示出CQ的长，在直角三角形CPQ中，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，取整即可得到所求的路程．
解答：
解：根据题意画出图形，如图所示：
点P是蝉的位置，点Q是螳螂的位置，且PA=9cm，PB=8cm，
由DB为圆Q的切线，得到QD⊥DB，CD=PB=8cm，
∵DC⊥AP，∴PC=（9-r）cm，
设圆Q的半径为r，则CQ=（8-r）cm，
在直角三角形PQC中，根据勾股定理得：
PQ2=PC2+CQ2，即r2=（8-r）2+（9-r） 2，
解得：r=5或29（不合题意舍去），
则螳螂捕蝉至少需走5cm的路程．
故答案为：5．
点评：此题考查了圆的切线性质，垂径定理及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
解答：
解：根据题意画出图形，如图所示：点P是蝉的位置，点Q是螳螂的位置，且PA=9cm，PB=8cm，
由DB为圆Q的切线，得到QD⊥DB，CD=PB=8cm，
∵DC⊥AP，∴PC=（9-r）cm，
设圆Q的半径为r，则CQ=（8-r）cm，
在直角三角形PQC中，根据勾股定理得：
PQ2=PC2+CQ2，即r2=（8-r）2+（9-r） 2，
解得：r=5或29（不合题意舍去），
则螳螂捕蝉至少需走5cm的路程．
故答案为：5．
点评：此题考查了圆的切线性质，垂径定理及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
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