Question

已知点A（1，）在抛物线y=x²+bx+c上，点F（-，）在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由．
（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

（1）解：由=，a=，得b=…（1分）
把b=和点A（1，）代入y=x²+bx+c，可求得c=．
故这条抛物线的解析式是y=x²+x．…（2分）

（2）解：设点P（x₀，y₀），则y₀=x₀²+x₀．
作PM⊥AF于M，得
PF²=PM²+MF²=（x₀+）²+（y₀-）²
又∵y₀=x₀²+x₀
=（x₀+）²-
∴（x₀+）²=3y₀+
∴PF²=3y₀++y₀²-y₀+=（ y₀+1）²．
易知y₀≥-，y₀+1＞0．∴PF=y₀+1．…（4分）
又∵当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，
y₀+1即为点P到直线l的距离．
∴存在符合题意的直线l．…（5分）

（3）是定值．
证明：当PF∥x轴时，PF=QF=，．…（6分）
当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，
∵△MFP∽△NFQ，
∴．
再依据第（2）小题的结果，可得．…（7分）
整理上式，得 ．…（8分）
分析：（1）根据对称轴为x==和a=求得b值，然后把求得的b值和点A点的坐标代入y=x²+bx+c，可求得c值，从而得到二次函数的解析式．
（2）设点P（x₀，y₀），表示出P点的纵坐标y₀=x₀²+x₀．作PM⊥AF于M，利用勾股定理PF²=PM²+MF²进一步得到PF=y₀+1．根据当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，y₀+1即为点P到直线l的距离，从而得到结论．
（3）分当PF∥x轴时，利用PF=QF=求得和当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，利用△MFP∽△NFQ根据相似三角形对应边的比相等求得，从而得到结论．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点比较多，难度比较大，是中考中的压轴题．特别是存在性问题更是近几年中考的高频考点．