Question

已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，且AF=BC，连接DF．
（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；
（2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求证：AD⊥EF．

Answer 1

证明：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
即得 DE∥BC，． …
∵AF∥BC，，
∴DE∥AF，DE=AF． …
∴四边形AFDE是平行四边形． …

（2）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，即得：AC=BC． …
于是，由点E是AC的中点，得 ． …
又∵四边形AFDE是平行四边形，
∴四边形AFDE是菱形． …
∴AD⊥EF． …
分析：（1）通过证明边DE平行且等于对边AF，即可证明四边形AFDE是平行四边形；
（2）由题意得△ABC是等边三角形，故有AC=BC，又点E是AC的中点，可得出DE=AE，四边形AFDE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证．
点评：本题考查平行四边形和菱形的判定与性质，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和菱形的判定定理，且菱形的对角线互相垂直平分．