题目内容

已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠ABC=∠ACD=90°，AB=BC=6 $数学公式$ ，tan∠CDE= $数学公式$ ，求对角线BD的长和△ABD的面积．

解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，
∵AB=BC=6 $\text{[math]}$ ，BF⊥AC，
∴AF=BF=CF，AC=12，
∴AF=BF=CF=6，
∵∠BFC=∠ACD=90°，
∴BF∥CD，
∴∠FBE=∠CDE，
∴tan∠FBE=tan∠CDE= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EF=4，
∴EC=2，CD=3，
∴BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BD=BE+DE=3 $\text{[math]}$ ；

（2）S_△ABD=S_△ABE+S_△ADE
= $\text{[math]}$ AE•BF+ $\text{[math]}$ AE•CD
= $\text{[math]}$ ×10×6+ $\text{[math]}$ ×10×3，
=45．
分析：（1）过点B作BF⊥AC于点F，根据等腰直角三角形的性质首先得出AF=BF=CF=6，进而得出BF∥CD，即∠FBE=∠CDE，求出EF，EC，CD的长，再利用勾股定理求出BD的长；
（2）利用（1）中所求线段长度以及S_△ABD=S_△ABE+S_△ADE，求出即可．
点评：此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出EF的长是解题关键．