Question

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂P₃…P_m中，若1≤i＜j≤m时，P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a_n，如排列21的逆序数a₁=1，排列4321的逆序数a₃=6．
（1）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式（用n表示，不要求证明）；
（2）令b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2，求b₁+b₂+…b_n并证明b₁+b₂+…b_n＜3，n=1，2，…．

Answer 1

（1）由排列21的逆序数a₁=1，排列4321的逆序数a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，
∴a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

；

（2）∵a_n=n+（n-1）+…+2+1=

n(n+1)

2

，b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2，
∴b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2=

n

n+2

+

n+2

n

-2=

2

n

-

2

n+2

，
∴b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

1

-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=3-

2

n+1

-

2

n+2

；
又∵n=1，2，…，
∴b₁+b₂+…b_n=3-

2

n+1

-

2

n+2

＜3．