Question

如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N，下列结论：
①∠APM=45°；②AB=

2

IM；③∠BIM=∠BAP；④

IN+OB

PM

=

2

2

．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①连接OM．根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行解答；
②连接AM、BM．根据三角形PIB的外角定理、三角形的内心的定义证得△MBI的两边MB=IM；根据勾股定理求得AB=

2

MB．易证该结论；
③利用反证法证明；
④根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得IN+OB=

1

2

（AP+BP）；然后借助折弦定理证得结论．

解答：解：①如图，连接OM．
∵点M是半圆的中点，
∴∠AOM=90°．
又∠APM=

1

2

∠AOM，
∴∠APM=45°；
故本选项正确；

②连接AM、BM．
∵点M是半圆的中点，
∴AM=BM，
∴AB=

2

MB．
设∠ABI=α，则∠MIB=45°+∠PBI=45°+α=∠MBI，
∴MB=IM．
∴AB=

2

IM；
故本选项正确；

③设∠PBA=β．
∵点I为△ABP的内心，
∴PI、BI分别是∠APB、∠ABP的角平分线，
∴∠PIB=∠PIN+（90°-

1

2

β）=135°-

1

2

β．
若∠BIM=∠BAP，则有∠BIM+∠PIB=∠BAP+∠PIB=90°-β+135°-

1

2

β=180°，
∴β=30°．
∵P点是圆上一动点，
∴不能保证∠PBA=30°；
∴∠BIM与∠BAP不一定相等．
故本选项错误；

④根据直角三角形内切圆半径公式知，IN=

AP+BP-AB

2

，则IN+OB=

1

2

（AP+BP），
折弦求和得，AP+BP=

2

PM，
∴

IN+OB

PM

=

2

2

；
故本选项正确；
综上所述，正确的结论有3个．
故选C．

点评：本题考查了圆的综合题．本题涉及到的知识点有：圆周角定理，直角三角形的内切圆半径公式，三角形的内切圆的性质以及等腰三角形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．