Question

【题目】四边形是平行四边形，点在边上运动（点不与点，重合）

（1）如图1，当点运动到边的中点时，连接，若平分，证明：；

（2）如图2，过点作且交的延长线于点，连接．若，，，在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请说明当发，点分别在线段，上什么位置时四边形是菱形，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，当且时，四边形是菱形，见解析.

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线定义得出∠AEB=∠ABE，证出AB=AE．即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥DF于H，由直角三角形的性质得出DH=AD=1，由勾股定理得出AH= ．在Rt△DEF中，∠EFD=30°，得出DF=2DE=1+，因此FH=DF-DH=，得出FH=AB．证出四边形ABFH是平行四边形．由AH=AB，即可得出结论．

（1）如图（1），平行四边形中，

∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴

∴．

又∵，

∴．

（2）存在．当且时，四边形是菱形．理由如下：

如图，过点作于，

在平行四边形中，，，

在中，，

∴

∴，

．

∴在中，，

∴，

∴，

∴．

又∵在平行四边形中，，点在的延长线上，

∴，

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴四边形是菱形．