Question

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度数.

（2）以OB为直径的⊙O^‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O^‘相切？

（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.

（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.

Answer 1

解：（1）在Rt△AOB中：

tan∠OAB=

∴∠OAB=30°

（2）如图，连接O^‘P，O^‘M. 当PM与⊙O^‘相切时，有∠PM O^‘=∠PO O^‘=90°，

   △PM O^‘≌△PO O^‘

由（1）知∠OBA=60°

∵O^‘M= O^‘B

∴△O^‘BM是等边三角形

∴∠B O^‘M=60°

可得∠O O^‘P=∠M O^‘P=60°

∴OP= O O^‘·tan∠O O^‘P

    =6×tan60°=

又∵OP=t

∴t=，t=3

即：t=3时，PM与⊙O^‘相切.

（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E

   ∵∠BAO=30°，AQ=4t

   ∴QE=AQ=2t

   AE=AQ·cos∠OAB=4t×

∴OE=OA-AE=-t

   ∴Q点的坐标为（-t，2t）

   S_△PQR= S_△OAB -S_△OPR -S_△APQ -S_△BRQ

            =

       =

       =   （）

   当t=3时，S_△PQR最小=

   （4）分三种情况：如图11.

当AP=AQ₁=4t时，

∵OP+AP=

∴t+4t=

∴t=

或化简为t=-18

当PQ₂=AQ₂=4t时

 过Q₂点作Q₂D⊥x轴于点D，

∴PA=2AD=2A Q₂·cosA=t

即t+t =

∴t=2

当PA=PQ₃时，过点P作PH⊥AB于点H

 AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t

AQ₃=2AH=36-6t

得36-6t=4t，

∴t=3.6

综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.