Question

如图，平面直角坐标系中，抛物线y=

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2

x²-2x+3交y轴于点A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连接AP，以AO、AP为邻边作平行四边形OAPQ，PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为m．
（1）点Q落在x轴上时m的值．
（2）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）利用点Q落在x轴上时，PQ=3，得出

1

2

m²-2m+3=3，求出m的值即可；
（2）利用QB=QP-BP=3-（

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2

m²-2m+3），利用m的取值范围，得出m的最值即可．

解答：解：（1）抛物线y=

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2

x²-2x+3与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，3）．
∴OA=3．
∵四边形OAPQ为平行四边形，
∴QP=OA=3．
∴当点Q落在x轴上时，

1

2

m²-2m+3=3，
解得：m₁=0，m₂=4．
当m=0，点P与点A重合，不符合题意，舍去．
∴m=4．

（2）解法一：∵点P的横坐标为m，
∴BP=

1

2

m²-2m+3．
∴QB=QP-BP=3-（

1

2

m²-2m+3），
=-

1

2

m²+2m，
=-

1

2

（m-2）²+2，
∵点Q在x轴下方，
∴0＜m＜4．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为2．

解法二：∵QP=3，QB=3-BP，
∴线段BP的长取最小值时，线段QB的长取最大值．
当点P为抛物线的顶点时，线段BP的长取最小值．
当x=-

b

2a

=2时，y=

4ac-b2

4a

=

4× 1 2 ×3-4

4× 1 2

=1．
∴线段BP的长最小值为1．
∴m=2时，线段QB的长取最大值，最大值为3-1=2．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的判定与性质，根据已知得出关于m的函数关系式是解题关键．