Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为

AB

上一点，AB=10，AC：BC=3：4．
（1）当点P与点C关于直线AB对称时（如图1），求PC的长；
（2）当点P为

AB

的中点时（如图2），求PC的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意求得PC⊥AB，且CD=DP，然后根据勾股定理求出CD的长；
（2）过点B作BE⊥PC于点E，连接PB，由（1）问求出AC和BC的长，然后根据题干条件求出EP的长，即可求出PC．

解答：解：（1）在⊙O中，如图
∵AB是直径，
∴∠ACB=90゜．
∵点P与点C关于AB对称，
∴PC⊥AB，且CD=DP．
∴由三角形面积得：CD•AB=AC•BC．
∵AB=10，AC：BC=3：4，
∴由勾股定理求得AC=6，BC=8．
∴CD=

6×8

10

=4.8，
∴PC=2CD=9.6；

（2）过点B作BE⊥PC于点E，连接PB，
由（1）得AC=6，BC=8．
∵点P为 的中点，∴∠ACP=∠BCP=45°．
在Rt△BEC中，可求得CE=BE=4

2

∵∠A=∠P，∠ACB=∠BEC=90°，
∴tan∠P=tan∠A．
∴

BC

AC

=

BE

EP

．
∴EP=

AC•BE

BC

=

6×4 2

8

=3

2

．
∴PC=CE+EP=4

2

+3

2

=7

2

．

点评：本题主要考查圆周角定理、勾股定理和垂径定理的知识点，解答本题的突破口利用好圆周角定理和垂径定理，此题难度一般．