题目内容
【题目】如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（不与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP= 
t、OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）
（1）写出t的取值范围 ， 写出M的坐标：（）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．
【答案】
（1）解：0＜t＜ 
；2t，t
（2）
解：把M（2t，t）代入到y=ax2+bx中得：
t=4at2+2tb，
1=4at+2b，
b= 
；
（3）
解：①如图2，∵OB= 
，OP= 
t，
∴PB= ﹣ t，
∵PM∥OA，
∴ 
，
∴ 
= 
，
∴t=1；
②由（2）得：b= = 
﹣2a，即4a=1﹣2b，
顶点N（﹣ 
，﹣ 
）（a＜0，b＞0），
i）当0≤﹣ ≤ 时，即a≤﹣ 时，
﹣ ≥﹣ ，解得a≥﹣ 
，
∴﹣ ≤a≤﹣ ，
ii）当 ＜﹣ ≤3时，即﹣ ＜a≤﹣ 
，
3﹣（﹣ ）≥﹣ ，
b2﹣4b+3≤0，
1≤b≤3，
1≤ ﹣2a≤3，﹣ 
≤a≤﹣ 
，
则﹣ ＜a≤﹣ ，
综上所述：a的取值为：﹣ ≤a≤﹣ ，
m=﹣ =1﹣ 
，
得：4am=4a﹣1，a=﹣ 
= 
，
﹣ ≤ ≤﹣ ，
∴ 
≤m≤2．
【解析】 解：（1）如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∴OB=AB= 
= ，
∵P为线段OB上﹣动点（不与O，B重合），
∴0＜ t＜ ，
∴0＜t＜ ，
∵四边形PCDM为正方形，
∴∠PCO=90°，
∵∠POC=45°，
∴△POC为等腰直角三角形，
∵OP= t，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M（2t，t）；
【考点精析】掌握二次函数的图象是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．
