Question

（2013•香坊区三模）直角三角形ABC中，∠C=9O°，P、E分别是边AB、BC上的点，D为△ABC外一点，DE⊥BC，DE=EC，tan∠DBE=

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，∠BDE=∠PEC，AD∥PE，AB=6，则线段AC的长为

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．

Answer 1

分析：作DF⊥AC，交AC的延长线于F点，易证得四边形CECF为矩形，由DE=EC，可判断四边形CECF为正方形，则DE=DF；再利用PE∥AD，EC∥DF得∠1=∠PEC，∠1=∠2，则∠2=∠PEC，而∠BDE=∠PEC，代换后得∠BDE=∠2，然后根据“AAS”判断△BDE≌△ADF，于是BE=AF，即2DE=AC+DF=AC+DE，可计算出DE=AC，最后利用勾股定理计算即可．

解答：解：作DF⊥AC，交AC的延长线于F点，如图，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BED=90°，
而∠ACB=90°，
∴四边形CECF为矩形，
∵DE=EC，
∴四边形CECF为正方形，
∴DE=DF，
∵PE∥AD，EC∥DF，
∴∠1=∠PEC，∠1=∠2，
∴∠2=∠PEC，
∵∠BDE=∠PEC，
∴∠BDE=∠2，
在△BDE和△ADF中，

∠BED=∠F ∠BDE=∠2 DE=DF

，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，
∵tan∠DBE=

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，
∴BE=2DE，
∴2DE=AC+CF，
∴DE=AC，
设AC=x，则BC=3x，
∴x²+9x²=36，
解得：x=

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，
∴AC=

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．
故答案为：

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5

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和正方形的判定等知识，根据已知得出DE=AC是解题关键．