题目内容
【题目】已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N．
（1）求点C的坐标；
（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：如图1，过C作CH⊥OB于H，
∵∠C=90°，OB=25，OC=20，
∴BC= 
= 
=15，
∵S△OBC= 
OBCH= OCBC，
∴CH= 
= 
=12，
∴OH= 
=16，
∴C（16，﹣12）
（2）
解：∵MN∥OB，
∴△CNM∽△COB，
∴ 
= 
= 
= 
，
设CM=x，则CN= 
x，
∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，
∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+ x+MN=20﹣x+mn+15﹣ x+25，
解得：x= 
，
∴CM=
（3）
解：如图2，
由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= 
x，
①当∠OMQ1=90°MN=MQ时，
∵△OMQ∽△OBC，
∴ 
= 
，
∵MN=MQ，
∴ 
= 
，
∴x= 
，
∴MN= x= × 
= 
；
②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时，
此时，四边形MNQ2Q1是正方形，
∴NQ2=MQ1=MN，
∴MN= ．
【解析】（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC= = =15，根据三角形的面积公式得到CH= = =12，由勾股定理得到OH= =16，于是得到结论；（2）∵根据相似三角形的性质得到 = = = ，设CM=x，则CN= x，根据已知条件列方程即可得到结论；（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN= x，MN= x，①当∠OMQ1=90°MN=MQ时，②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．
