Question

已知如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接CA，CB．
（1）求证：∠PCA=∠CBA；
（2）作CD⊥AB，垂足是D．求证：PA•PB=PD•PO．

Answer 1

证明：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∠PCO=90°
∵BA是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA=∠OCB=∠CBA；

（2）∵∠PCA=∠CBA，且∠P是公共角，
∴△PBC∽△PCA，
∴
即PC²=PA•PB，
∵CD是直角△POC斜边上的高，
∴△PCD∽△POC；
∴，
即PC²=PD•PO，
∴PA•PB=PD•PO．
分析：（1）线连接OC，由已知PC切⊙O于点C可推出∠PCO=90°，再由AB是直径推出∠ACB=90°，所以∠PCA和∠CBA与∠AOC的和都是
90°通过等量代换得证；
（2）由已知通过证明△PBC∽△PCA和△PCD∽△POC得出结论；
点评：此题考查的知识点是切线的性质和相似三角形的判定、性质．关键是：
（1）由直径、切线得出两个直角通过等量代换得证，
（2）由已知通过证明△PBC∽△PCA和△PCD∽△POC得出结论；