Question

如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=

 

°，猜想∠QFC=

 

°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=2

3

，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得∠QFC的度数；
（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．点Q到射线BC的距离y=QH=sin60°×QF=

3

2

（x+2），即可求得函数关系式．

解答：证明：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，
∴∠EBF=30°；（1分）
则猜想：∠QFC=60°；（2分）

（2）∠QFC=60°．                      （1分）
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中，

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60；

（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2

3

．
由（1）得∠EBF=30°．
又∵∠QFC=60°
∴∠EBF=∠BEF，
∴BF=EF，
∵FG⊥BE
∴BG=

BE

2

=

3

，
∴BF=

BG

cos30°

=2．
∴EF=2．                                       （1分）
∵在Rt△ABP和Rt△AEQ中，

AQ=AP AB=AE

∴△ABP≌△AEQ．
设QE=BP=x，
则QF=QE+EF=x+2．                               （2分）
过点Q作QH⊥BC，垂足为H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=

3

2

（x+2）．（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y=

3

2

x+

3

．            （3分）

点评：本题把图形的旋转，与三角形的全等，三角函数，以及函数相结合，是一个比较难的题目．