Question

【题目】如图所示，点是线段的中点，，.

（1）如图1，若，求证是等边三角形；

（2）如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度；

（3）如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）18；（3）18.

【解析】

（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得，即可证明是等边三角形；

（2）证明，得出，继而得到，即可求得PC的长度；

（3）取BC的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可.

解：（1）∵，，

，

是线段中点，，

，

是等边三角形；

（2）∵、是等边三角形，

∴，AB=BC，BD=BQ，，

∴，

∴，

，

，

，

，

，

；

（3）取BC的中点H，连接OH,连接CN，

分两种情况讨论：

当M在线段上时，如图2，

∵H是BC的中点，,

∴,

∴是等边三角形,

∵是等边三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

点从起点到作直线运动,

∵当点M在点B时，CN=BH=9,

∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；

当点M在线段上时，如图3，

∵H是BC的中点，,

∴,

∴是等边三角形,

∵是等边三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

点从到终点作直线运动,

∵当点M在点C时，CN=CH=9,

∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；

综上所述，的路径长度为：.