Question

8．是否存在素数p，使得方程x²-4p（x-p）-5p-1=0的两根均为整数？若存在，求出p的所有可能值及方程的根；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 将原方程变现为一般式，根据方程有两个整数根即可得出△=4×（5p+1）为完全平方数，设5p+1=n²，根据5p=n²-1=（n-1）（n+1），即可得出n-1、n+1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数），结合p为素数即可求出p、k的值，将p的值代入原方程，再解方程即可得出结论．

解答 解：原方程可变形为x²-4px+4p²-5p-1=0，
∵方程的两根均为整数，
∴△=（-4p）²-4×（4p²-5p-1）=4×（5p+1）为完全平方数，
∴5p+1为完全平方数．
设5p+1=n²，
∵p为素数，
∴p≥2，
∴n≥4，且n为整数．
∵5p=n²-1=（n-1）（n+1），
∴n-1、n+1中至少有一个是5的倍数，即n=5k±1（k为正整数），
∴5p+1=25k²±10k+1，
∴p=k（5k±2）．
∵p为素数，5k±2＞1，
∴k=1，p=3或7．
当p=3时，原方程为x²-12x+20=0，
解得：x₁=2，x₂=10；
当p=7时，原方程为x²-28x+160=0
解得：x₁=8，x₂=20．

点评 本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，根据方程有两个整数根得出△=4×（5p+1）为完全平方数是解题的关键．