Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）可通过证明三角形的内角都是60°来得出结论，思路是通过等弧所对的圆周角相等来得出三角形内的其中两个内角为60°来证得．
（2）可通过构建直角三角形来求解，连接AO延长AO交BC于D，然后用半径表示出OD，OB，在直角三角形OBD中用勾股定理来求出半径的长．

解答：（1）证明：∵∠APC=∠ABC，∠CPB=∠BAC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°．
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°．
∴△ABC是等边三角形．

（2）解：连接AO并延长其交BC于D，那么AD⊥BC，连接OB．
∵AD⊥BC，AB=AC
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°
∴在直角三角形ABD中，AB=4，BD=2
根据勾股定理AD=2

3

．
直角三角形OBD中，OD=AD-OA=AD-OB=2

3

-OB，BD=2，
根据勾股定理可得：OB²=BD²+OD²
即OB²=（2

3

-OB）²+4．
解得：OB=

4 3

3

．
因此⊙O的半径是

4 3

3

cm．

点评：本题考查了圆周角定理，垂径定理等综合知识的应用，根据圆周角定理得出等边三角形是本题解题的关键．