Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α．

（1）如图，∠BAC=90°，α=45°，试求点D到边AB，AC的距离的比值；

（2）如图，∠BAC=100°，α=20°，连接AD，BD，求∠CBD的大小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30°

【解析】

（1）先找出点D的位置，求出△BDF∽△CDE，得出比例式，再解直角三角形求出即可；

（2）在BC上截取CF=AD，连接DF，求出△DCF≌△BAD，根据全等三角形的性质得出∠ABD=∠CDF，BD=DF，再求出答案即可．

（1）如图1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵α=45°，

∴点D恰好落在BC上，

过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，则有：∠BED=∠DFC=90°，

∴△BDF∽△CDE，

∴=，

设AB=AC=m，则有：，，

∴===-1，

即点D到边AB，AC的距离的比值为；

（2）如图2，在BC边上截取CF=AD，连接DF，

∵∠BAC=100°，AB=AC，

∴∠ABC=∠BCA=40°，

∵∠ACD=α=20°，

∴∠DCB=20°，

又∵AC=DC，

∴∠CAD=80°，

∴∠BAD=∠DCB=20°，

在△DCF和△BAD中

∴△DCF≌△BAD（SAS），

∴∠ABD=∠CDF，BD=DF，

∴∠DBC=∠DFB，

∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-∠ABD，∠DFB=∠DCF+∠CDF=20°+∠CDF，

∴20°+∠CDF=40°-∠ABD，

∴2∠ABD=40°-20°，

即∠ABD=10°，

∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=40°-10°=30°．