Question

已知关于x的二次函数y=x2-mx+

m2+1

2

与y=x2-mx-

m2+2

2

，这两个二次函数图象中只有一个图象与x轴交于A，B两个不同的点．
（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；
（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据b²-4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x²-2x+1的图象与x轴交点的个数；
（2）图象上的任何一点都会满足方程的，所以，把已知点代入方程来求m即可．

解答：解：（1）图象经过A、B两点的二次函数为y=x2-mx-

m2+2

2

，（2分）
∵对于关于x的二次函数y=x2-mx+

m2+1

2

，
而△=(-m)2-4×1×(

m2+1

2

)=-m2-2＜0，
所以函数y=x2-mx+

m2+1

2

，的图象与x轴没有交点（3分）
∵对于二次函数y=x2-mx-

m2+2

2

，而△=(-m)2-4×1×(-

m2+2

2

)=3m2+4＞0，
所以函数y=x2-mx-

m2+2

2

，的图象与x轴有两个不同的交点．（4分）

（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-

m2+2

2

，得1+m-

m2+2

2

=0．
整理，得m²-2m=0，得m₁=0，m₂=2（5分）
当m₁=0时，y=x²-1，令y=0，得x₁=-1，x₂=1
此时，B点的坐标是B（l，0）．（6分）
当m₂=2时，y=x²-2x-3，令y=0，得x₁=-1，x₂=3（7分）
此时，B点的坐标是B（3，0）．（8分）

点评：（1）考查二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
（2）若已知二次函数的图象经过的点，则直接把已知点代入该二次函数的方程式来求方程式中的常量即可．