Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=2

3

，则S_{四边形ABCD}=

12

．

Answer 1

分析：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE=AF=5，S_△ABE=S_△ADF，则S_{四边形ABCD}=S_{正方形AECF}，然后根据正方形的面积公式计算即可．

解答：解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，
∵AE⊥BC，AF⊥CF，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
而∠C=90°，
∴四边形AECF为矩形，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△ADF中，
∵

∠1=∠2 ∠AEB=∠AFD AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF=2

3

，S_△ABE=S_△ADF，
∴四边形AECF是边长为5的正方形，
∴S_{四边形ABCD}=S_{正方形AECF}=（2

3

）²=12．
故答案为：12．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组对应角相等，并且有一条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；全等三角形的面积相等．也考查了矩形的性质．