Question

已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连AC，将直线AC向右平移交抛物线于点P，交x轴于Q点，且∠CPQ=135°，求直线PQ的解析式．

Answer 1

分析：首先由抛物线解析式求得点A、C的坐标，从未求得OC=3，OA=1．然后如图，作CA⊥AE交直线PC于E，EH⊥x轴于H，构建全等三角形：△AOC≌△EHA（AAS），所以由全等三角形的性质可以求得点E的坐标，从而易求直线CE与抛物线的交点P的坐标．然后根据平行线的斜率相等来求直线PQ的解析式．

解答：解：∵抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴易求A（1，0），C（0，3），直线AC的解析式为y=-3x+3．
∴OC=3，OA=1．
∵∠CPQ=135°，
∴∠EPQ=45°，
∵AC∥PD，
∴∠ACP=45°，
作CA⊥AE交直线PC于E，EH⊥x轴于H，则∠ACO=∠EAH，AC=AE，∠AOC=∠EHA=90°，
∴在△AOC与△EHA中，

∠AOC=∠EHA ∠ACO=∠EAH AC=EA

，
∴△AOC≌△EHA（AAS）．
∵CO=HA=3，AO=HE=1，
∴点E的坐标为（4，1），
∴直线CE的解析式为y=-

1

2

x+3，
有

y=x2-4x+3 y=- 1 2 x+3

，
∴解得点P坐标为（

7

2

，

5

4

）．
∵AC∥PQ，
∴直线PQ的解析式为：y=-3x+

47

4

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数图象与几何变换．注意此题的辅助线的作法是解题的难点．