Question

如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点坐标为A(-2, 0).

   （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

   （2）求C点坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

   （3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由;

   （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）∵抛物线的图象经过点A(-2, 0)

        ∴有………………………1分

        ∴

        ∴ ………………………………………………2分

        ∴ 抛物线解析式为 ……………3分

        ∴对称轴方程为：

                即为所求………………………………………4分

        （或用配方法求出对称轴方程，酌情给分）

   （2）在中，令则

                             

        ∴ 点C(0, 4) ……………………………………………1分

        令，则………………………2分

       

        …………………………………………3分

        ∴ A(-2, 0）  B(8, 0)   …………………………………4分

        设直线BC的解析式为，

        把B(8, 0), C(0, 4)的坐标分别代入解析式

        则有，    ……………………………………5分

        ∴

        ∴ 直线BC的解析式为 …………………6分

   （3）可判定△AOC∽△COB成立.…………………………1分

        理由如下：在△AOC与△COB中

        ∵OA=2 ，OC=4 ，OB=8

        ∴   ………………………2分

        ∴有，………………………………………3分

又∠AOC=∠BOC=90°…………………………………4分

 ∴△AOC∽△COB………………………………………5分

   （4）∵抛物线的对称轴方程为：

        可设点Q(3, t)则可求得，

       

       

        ………1分

    i）当时，

       有

      

       

          ∴ Q₁(3, 0) …………………2分

    ii）当时，

        有

        ，此时方程无实数根.

        ∴ 此时△ACQ不能构成等腰三角形……3分

    iii）当时，

       

       

       

        ∴ 点Q坐标为：Q₂(3, )    Q₃(3, )…………………5分

        故满足条件的Q点坐标为：Q₁(3, 0),  Q₂(3, ) ， Q₃(3, )