Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．
（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先将两函数联立得出ax²-2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（2）利用线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的平方，以及a，b，c的符号得出|A₁B₁|的范围即可．

解答：解：（1）联立方程得：ax²+2bx+c=0，
△=4（a²+ac+c²），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x₁，x₂，则
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，
=（-

2b

a

）²-

4c

a

=

4b2-4ac

a2

=

4(-a-c)2-4ac

a2

，
=4[（

c

a

）²+

c

a

+1]，
=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此时3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式等知识，熟练利用根的判别式以及两点之间的距离是解题关键．