Question

如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°．设AD，BC延长线交于E，则∠AEB=________．

Answer 1

21°
分析：过B点作BG∥CD，并且与过D点与BC平行的直线交于G点，加上BC=CD，得到四边形BCDG为菱形，则BC=BG=GD，得∠1=180°-162°=18°，得∠2=78°-18°=60°，于是有△ABG为等边三角形，则GA=GB，得到GD=GA，∠4=∠5，可以求出∠AGD=360°-162°-60°=138°，即可得到∠4，即得到∠AEB．
解答：解：过B点作BG∥CD，并且与过D点与BC平行的直线交于G点，如图，
由作法得四边形BCDG为平行四边形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDG为菱形，
∴BC=BG=GD，
∵∠BCD=162°，
∴∠1=180°-162°=18°．
而∠ABC=78°，
∴∠2=78°-18°=60°，
又∵AB=BC，
∴BA=BG，
∴△ABG为等边三角形，
∴GA=GB，
∴GD=GA，
又∵∠BGD=∠BCD=162°，
而∠AGB=60°，
∴∠AGD=360°-162°-60°=138°，
∴∠4=∠5=（180°-138°）=21°，
而GD∥BC，
∴∠AEB=∠4=21°．
故答案为21°．
点评：本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形与等边三角形的性质、菱形和平行线的性质．关键是要作出辅助线．