Question

（2013•温州模拟）如图，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．线段AB的垂直平分线交反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象于点C，D为垂足，过C作CE⊥OB于点E．当四边形CDBE为正方形时，正方形CDBE的面积为

10

7

．

Answer 1

分析：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，设正方形CDBE的边长为a，根据垂直平分线的性质得AB=2a，则OB=2AB=4a，且可得到DF为△OAB的中位线，所以FD=

1

2

OB=2a，则FC=2a-a=a，于是CP为△FDA的中位线，CP=

1

2

AD=

1

2

a，在Rt△CFP中，根据勾股定理计算出PF=

5

2

a，利用面积法计算出CH=

5

5

a，在Rt△CFH中，根据勾股定理计算HF=

2 5

5

a，OA=2

5

a，所以OF=

1

2

OA=

5

a，则可确定C点坐标为（

7 5

5

a，

5

5

a），然后把C点坐标代入反比例解析式得到a²．

解答：解：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，如图，
设正方形CDBE的边长为a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF为△OAB的中位线，
∴FD=

1

2

OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP为△FDA的中位线，
∴CP=

1

2

AD=

1

2

a，
在Rt△CFP中，PF=

CF2+CP2

=

5

2

a，
∴

1

2

CH•PF=

1

2

CP•CF，即

1

2

CH•

5

2

a=

1

2

a•

1

2

a，
∴CH=

5

5

a，
在Rt△CFH中，HF=

CF2-CH2

=

2 5

5

a，
在Rt△OAB中，OA=

OB2+AB2

=2

5

a，
∴OF=

1

2

OA=

5

a，
∴OH=OF+FH=

7 5

5

a，
∴C点坐标为（

7 5

5

a，

5

5

a），
把C（

7 5

5

a，

5

5

a）代入y=

2

x

得

7 5

5

a•

5

5

a=2，解得a²=

10

7

．
∴正方形CDBE的面积为

10

7

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；熟练运用勾股定理进行几何计算．