Question

已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．

(1)如图①，若AB＝6，CD＝2，求：CE的长；

(2)如图②，当∠A为锐角时，连结BE，试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；

(3)若图②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与⊙O相交于E．

请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(2)中你得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(l)连结AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，又CD＝2∴BD＝2，由CE·CA＝CD·CB，得6·CE＝2·(2＋2)，∴CE＝1; 　　(2)∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC＝2∠CBE．证明：连结AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，又∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE; 　　(3)相同．证明：连结AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE．