Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.

1.当t=1时，正方形EFGH的边长是            ；

当t=3时，正方形EFGH的边长是            ；

2.当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；

3. 直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

 

Answer 1

 

1.2；6；

2.当0＜t≤时（如图），S与t的函数

关系式是：  S==(2t)²=4t²；

   当＜t≤时（如图），求S与t的函数关系式是：

S=-S_△HMN=4t²-××[2t-(2-t)]² =t²+t-；

当＜t≤2时（如图），求S与t的函数关系式是：

S= S_△ARF -S_△AQE =×(2+t) ² -×(2-t)²=3t.

3.如图所示：

PE=PF=t，AE=t-2 ，EF=4     

 DE= , DH=

由△DHN∽△DEA得:

 ，即

 ，

 ，即 

 ，

 

∴当时，。

解析:

1.根据每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，可知正方形EFGH的边长

2.分三种情况进行讨论： 当0＜t≤时，当＜t≤时，当＜t≤2时，从而得出结论

3. 当PE=PF=t，AE=t-2， EF=4时，面积最大，利用相似三角形和三角形面积公式求解