Question

如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°.

（1）求△AOB的面积；

（2）求点C坐标；

（3）点P是x轴上的一个动点，设P（x,0）

①请用x的代数式表示PB²、PC²；

②是否存在这样的点P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，请说明理由；

如果存在，请求出点P的坐标.

 

Answer 1

∴S△AOB=×4×3=6；

（1）由直线y=-x +3，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，

（2）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，

∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，

∴△OAB≌△DCA，

∴CD=OA=4，AD=OB=3，则OD=4+3=7，

∴C（7，4）；

（3）①由（2）可知，PD=7-x，

在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，

Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，

②存在这样的P点．

设B点关于 x轴对称的点为B′，则B′（0，-3），

连接CB′，设直线B′C解析式为y=kx+b，将B′、C两点坐标代入，得

       b=-3；

  7k+b=4；

             k=1

解得    b=-3

所以，直线B′C解析式为y=x-3，

令y=0，得P（3，0），此时|PC-PB|的值最大，

故答案为：（3，0）．