题目内容
【题目】已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=
x2+
x﹣3（2）
（3）P1（﹣3，﹣3）或P2（
，3）或P3（
，3）
【解析】
(1)把点B（1，0）、C（0，﹣3）标代入抛物线y=ax2+3ax+c求出a,c的值即可;
(2)过点D作DE∥y轴交AC于E,利用待定系数法求出直线AC的解析式,故可得出DE=﹣
（m+2）2+3，,再由当m=﹣2时，DE有最大值为3，此时，S△ACD有最大值，从而可求出结论；
(3) ①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ,此时四边形ACP1E1为平行四边形,根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标;②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,令P（x，3），由x2+ x﹣3=3，得出x的值即可得出P点坐标.
（1）解：将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得： 
，
解得：a= 
，c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y= x2+ 
x﹣3.
（2）解：令y=0，则 x2+ x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4，
∴A（﹣4，0）、B（1，0）.
令x=0，则y=﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴S△ABC= 
×5×3= 
.
设D（m， m2+ m﹣3），
过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3，则E（m，﹣ m﹣3），
DE=﹣ m﹣3﹣（ m2+ m﹣3）=﹣ （m+2）2+3，
当m=﹣2时，DE有最大值为3，
此时，S△ACD有最大值为 ×DE×4=2DE=6.
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+ = 
，
（3）解：如图所示：
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1 ， 过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1 ， 此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3），
∴设P1（x，﹣3），
∴ x2+ x﹣3=﹣3，
解得x1=0，x2=﹣3，
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3），
∴设P（x，3），
∴ x2+ x﹣3=3，
解得x= 
或x= 
，
∴P2（ ，3）或P3（ ，3），
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（ ，3）或P3（ ，3）.
