题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．
分析：（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=
x，AE=
x，即可得出y与x的函数关系式．
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE=
| 3 |
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| 5 |
| 4 |
解答：证明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AEP∽△ABC；
解：（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=
=
=6，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴
=
=
，
又∵AP=x，
即
=
=
，
∴PE=
x，AE=
x，
∴y=10-x+
x+8-
x+6=24-
x．（0＜x＜4.8）
∴∠APE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠APE=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AEP∽△ABC；
解：（2）在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=
| AB2-AC2 |
| 102-82 |
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴
| AE |
| AB |
| AP |
| AC |
| PE |
| BC |
又∵AP=x，
即
| AE |
| 10 |
| x |
| 8 |
| PE |
| 6 |
∴PE=
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
∴y=10-x+
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、一次函数的图象以及列函数解析式，是中档题，难度不大．
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