Question

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）

②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；

（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

①y= （＜x≤5）

②当时，y的最大值为

（3）x=

解析:解：（1）∵AC=3，BC=4

∴AB=5

∵AC·BC=AB·CD，

∴CD=，AD=

（2）①当0＜x≤时

∵EF∥CD

∴△AEF∽△ADC

∴

即EF=x

∴y=·x·x=

当＜x≤5时，易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）

∴y=·x·（5—x）=≤

②当0＜x≤时，y随x的增大而增大.

y=≤,即当x=时，y最大值为

  当＜x≤5时，

        ∵

       ∴当时，y的最大值为

      ∵＜

      ∴当时，y的最大值为

（3）假设存在

    当0＜x≤5时，AF=6—x

    ∴0＜6—x＜3

    ∴3＜x＜6

     ∴3＜x≤5

    作FG⊥AB与点G

    由△AFG∽△ACD可得

    ∴，即FG=

    ∴x·=

    ∴=3，即2x2-12x+5=0

    解之得x1=，x2=

    ∵3＜x1≤5

    ∴x1=符合题意

    ∵x2=＜3

    ∴x2不合题意，应舍去

    ∴存在这样的直线EF，此时，x=