Question

如图，设△ABC为正三角形，边长为1，P，Q，R分别在AB，BC，AC边上，且AR=BP=CQ=

1

3

．连AQ，BR，CP两两相交得到△MNS，则△MNS的面积是

 

．

Answer 1

分析：先根据△ABC为正三角形，边长为1，且AR=BP=CQ=

1

3

得出△BPC≌△COA≌△ARB，△BPC∽△NQC，再求出△BPC及△ABC的面积，由相似三角形的性质可求出△NOC的面积，进而可得出答案．

解答：解：∵△ABC为正三角形，边长为1，
∴S_△ABC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

；
∵AR=BP=CQ=

1

3

，
∴△BPC≌△COA≌△ARB，
∴∠CON=∠BPC，∠BCP=∠BCP，
∴△BPC∽△QNC，其相似比为

QC

BC

=

1 3

1

=

1

3

，
∵S_△BPC=

1

2

×

1

3

×

3

2

=

3

12

，
∴S_△BPC=

3

108

，
∴△MNS的面积=S_△ABC-3S_△BPC+3S_△BPC=

3

4

-3×

3

12

+3×

3

108

=

3

36

．
故答案为：

3

36

．

点评：本题考查的是面积及等积变换，能根据题意得出△BPC∽△NQC，再由相似三角形的性质得出答案是解答此题的关键．