Question

如图，已知一次函数y=x+3与函数y=x+的图象交于点A，且与x轴、y轴交于点B，点D，y=x+的图象与x轴、y轴交于点C，E，
（1）求点C、点D、点A坐标；
（2）能否说明△ECO与△BDO相似吗？
（3）动点P从点C出发沿射线CA以每秒4厘米的速度运动．同时，动点Q从点D出发沿射线DB运动，且始终保持OP⊥OQ．设运动时间为t秒（t＞0）．
①△PCO与△DQO相似吗？例说明理由；
②求动点Q的运动速度；
③设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵y=x+的图象与x轴交于点C，
∴当y=0时，x+=0，解得x=-4，
∴点C坐标为（-4，0）；
∵一次函数y=x+3的图象与y轴交于点D，
∴当x=0时，y=3，
∴点D坐标为（0，3）；
解方程组，得，
∴A点坐标为（-，）；

（2）△ECO与△BDO相似，理由如下：
∵y=x+3的图象与x轴交于点B，
∴当y=0时，x=4，
∴B点坐标为（4，0）．
∵y=x+的图象与y轴交于点E，
∴E点坐标为（0，）．
在△ECO与△BDO中，
∵OE：OB=：4=4：3，OC：OD=4：3，
∴OE：OB=OC：OD，
又∵∠EOC=∠BOD=90°，
∴△ECO∽△BDO；

（3）①△PCO与△DQO相似，理由如下：
∵∠COE=∠POQ=90°，
∴∠COE-∠POE=∠POQ-∠POE，
即∠COP=∠DOQ．
由（2）知△ECO∽△BDO，
∴∠PCO=∠QDO．
在△PCO与△QDO中，
∵∠COP=∠DOQ，∠PCO=∠QDO，
∴△PCO∽△QDO；
②∵△PCO∽△QDO，
∴=，=，
∴QD=3t，
∴动点Q的运动速度为每秒3厘米；
③分两种情况：
当0＜t＜时，AP=AC-CP=-4t，AQ=AD+DQ=+3t，
△APQ的面积为：S=AP•AQ=（-4t）（+3t）=-6t²+t+；
当t≥时，AP=CP-AC=4t-，AQ=AD+DQ=+3t，
△APQ的面积为：S=AP•AQ=（4t-）（+3t）=6t²-t-．
分析：（1）根据一次函数y=x+的图象与x轴交于点C，可求点C坐标为（-4，0）；根据一次函数y=x+3的图象与y轴交于点D，可求点D坐标为（0，3）；由于一次函数y=x+3与函数y=x+的图象交于点A，联立这两个一次函数的解析式，得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求出A点坐标；
（2）根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似即可得出△ECO∽△BDO；
（3）①根据两个角对应相等的两个三角形相似即可得出△PCO∽△QDO；
②根据△PCO∽△QDO，求得DQ的长，即点Q一秒移动的距离，即Q的速度；
②分别用时间t表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解析式．
点评：本题是一次函数的综合题，涉及到平面直角坐标系中求点的坐标，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，注意（3）中，需根据P点的不同位置进行分类求解，这是解题的关键．