Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）若AD=3，BC=4，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，求出∠EAB=

1

2

∠DAB，∠EBA=

1

2

∠ABC，求出∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；
（2）延长AD、BE交于M，求出AB=AM，求出BC=DM，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴∠EAB=

1

2

∠DAB，∠EBA=

1

2

∠ABC，
∴∠EAB+∠ABE=

1

2

×180°=90°，
∴∠AEB=180°-90°=90°，
∴AE⊥BE．

（2）解：延长AD、BE交于M，
∵AD∥BC，
∴∠M=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠M，
∴AB=AM，
∵AE⊥BE，
∴BE=EM，
∵AD∥BC，
∴△DEM∽△CEB，
∴

DM

BC

=

EM

BE

=

1

1

，
∴DM=BC=4，
即AM=3+4=7，
∴AB=7．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．