Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与y轴、x轴分别交于

E、F，边长为2的等边△ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；

（2）求出边A1C1所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) y=﹣x+6 ;(3) 点P的坐标为（3，3）或（﹣，3）或（5，﹣3）．

【解析】

（1）过点A1作A1D⊥x轴于点D，根据等边三角形的性质可得出B1D、A1D的长度，进而可得出点A1的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点A1在直线l上；

（2）由等边三角形的边长可找出点C1的坐标，由点A1、C1的坐标，利用待定系数法即可求出边A1C1所在直线的解析式；

（3）分别以△A1C1F的三条边为对角线找出平行四边形，利用平行四边形的性质即可找出点P的坐标．

（1）过点A1作A1D⊥x轴于点D，如图1所示．

∵△A1B1C1是边长为2的等边三角形，

∴B1D=×2=，A1D=×2=3，

∴点A1的坐标为（，3）．

∵当x=时，y=﹣×+4=3，

∴点A1在直线l上．

（2）∵△A1B1C1是边长为2的等边三角形，

∴B1C1=2，

∴点C1的坐标为（2，0）．

设边A1C1所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A1（，3）、C1（2，0）代入y=kx+b，得：

，解得：

∴边A1C1所在直线的解析式为y=﹣x+6．

（3）当y=0时，有﹣x+4=0，

解得：x=4，

∴点F的坐标为（4，0）．

分三种情况考虑（如图2）：

①当A1F为对角线时，四边形A1C1FP1为平行四边形，

∵A1（，3），C1（2，0），F（4，0），

∴点P1的坐标为（+4﹣2，3+0﹣0），即（3，3）；

②当A1C1为对角线时，四边形A1P2C1F为平行四边形，

∵A1（，3），C1（2，0），F（4，0），

∴点P2的坐标为（+2﹣4，3+0﹣0），即（﹣，3）；

③当C1F为对角线时，四边形A1C1P3F为平行四边形，

∵A1（，3），C1（2，0），F（4，0），

∴点P3的坐标为（2+4﹣，0+0﹣3），即（5，﹣3）．

综上所述：点P的坐标为（3，3）或（﹣，3）或（5，﹣3）．