Question

已知关于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2

3

，m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0．
求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）本题可先求出方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．
（2）由（1）得出的m的值，然后将m²+a²m-8a=0，m²+b²m-8b=0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．

解答：解：（1）∵关于x的方程（m²-1）x²-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．
∵a=m²-1，b=-9m+3，c=18，
∴b²-4ac=（9m-3）²-72（m²-1）=9（m-3）²≥0，
设x₁，x₂是此方程的两个根，
∴x₁•x₂=

c

a

=

18

m2-1

，
∴

18

m2-1

也是正整数，即m²-1=1或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
∴m=2；

（2）把m=2代入两等式，化简得a²-4a+2=0，b²-4b+2=0
当a=b时，a=b=2±

2

当a≠b时，a、b是方程x²-4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．
①a≠b，c=2

3

时，由于a²+b²=（a+b）²-2ab=16-4=12=c²
故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S_△ABC=

1

2

ab=1．
②a=b=2-

2

，c=2

3

时，因2(2-

2

)＜2

3

，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a=b=2+

2

，c=2

3

时，因2(2+

2

)＞2

3

，故能构成三角形．
S_△ABC=

1

2

×2

3

×

(2+ 2 )2-( 3 )2

=

9+12 2

综上，△ABC的面积为1或

9+12 2

．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．