Question

（2010•兰州）如图，P₁是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A₁的坐标为（2，0）．
（1）当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将如何变化？
（2）若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A₂点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P₁（a，b），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P₁OA₁的面积=×0A₁×b=b．故当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将逐渐减小．
（2）由于△P₁OA₁为等边三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P₁的坐标，根据点P₁是反比例函数y=图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．设A₁D=a，由于△P₂A₁A₂为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P₂的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A₂点的坐标．
解答：解：（1）过P₁作P₁C⊥OA₁，垂足为C，
设P₁（a，b），
∵P₁在第一象限，
∴△P₁OA₁的面积=×0A₁×b=b．
又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．
故当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将逐渐减小．

（2）因为△P₁OA₁为边长是2的等边三角形，
所以OC=1，P₁C=2×=，
所以P₁（1，）．
代入y=，得k=，
所以反比例函数的解析式为y=．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D．
设A₁D=a，
则OD=2+a，P₂D=a，
所以P₂（2+a，a）．
∵P₂（2+a，a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=，得（2+a）•a=，
化简得a²+2a-1=0
解得：a=-1±．
∵a＞0，
∴a=-1+．∴A₁A₂=-2+2，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=2，
所以点A₂的坐标为（2，0）．
点评：此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．