Question

已知：如图，点A、B、C为⊙O上的点，点D在OC的延长线上，∠CBA=∠CDA=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB于M，BC=5，求DC的长．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理由∠CBA=30°，得出∠O=2∠B=60°，进而得出∠CDA+∠O=90°，即∠OAD=90°问题得证．
（2）利用垂径定理得出AM=BM，进而得出AM，CM的长，再利用tan30°=

AM

DM

，即可得出DM的长，即可求出CD的长．

解答：（1）证明：连接OA，
∵∠B是

AC

所对的圆周角，∠O是

AC

所对的圆心角，
∠CBA=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠CDA=30°，
∴∠CDA+∠O=90°．
∴∠OAD=90°．
∴OA⊥AD．
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线，

（2）解：∵OD⊥AB于M，
∴AM=BM．
∵∠B=30°，BC=5，
∴CM=

5

2

，BM=

5 3

2

．
∴AM=

5 3

2

．
在Rt△MAD中，
∵∠CDA=30°，
∴tan30°=

AM

DM

=

5 3 2

DM

=

3

3

．
解得：DM=

5 3

2

×

3

=

15

2

．
∴CD=DM-CM=

15

2

-

5

2

=5．
∴CD=5．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及解直角三角形和勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理得出AM，CM，以及利用锐角三角函数求出DM的长．