Question

如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，CD⊥AB于D，在

（1）DC•AB=AC•BC；

（2）；

（3）；

（4）AC+BC＞CD+AB

中正确的个数是

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

B
分析：（1）根据题意可以得到△ACD∽△ABC，然后用相似三角形的对应边的比相等证明其成立．
（2）用射影定理得到AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，代入等式可以证明其成立．
（3）根据射影定理有：AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，然后由△ACD∽△CBD，得到CD²=AD•BD，代入等式可以证明其成立，
（4）根据三角形三边的关系，只能得到AC+BC＞AB，不能把三角形的高代进去比较大小．
解答：（1）根据直角三角形斜边上的高分直角三角形所得的两个三角形与原三角形相似，有：△ACD∽△ABC，∴AC：AB=DC：BC，
∴DC•AB=AC•BC．所以（1）正确．
（2）由射影定理有：AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，∴==．所以（2）正确．
（3）∵AC²=AD•AB，BC²=BD•AB，
又△ACD∽△CDB，∴CD²=AD•BD
∴+=+====．所以（3）正确．
（4）根据三角形两边之和大于第三边，只能得到AC+BC＞AB，不能得到AC+BC＞AB+CD．所以（4）不正确．
故选B．
点评：本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据直角三角形斜边上的高分直角三角形得到的两个三角形与原来的三角形相似，然后用相似三角形对应边的比等于相似比，得到对应线段的关系，代入等式可以证明（1）（2）（3）是正确的．